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Automorphisme en géométrie Utilisable sur un simulateur tel celui des de la géométrie par l'exemple R sera considérée comme une relation automorphique si et seulement si pour tout x et y, x R y si et seulement si tx R ty si x et y vérifient la relation R, il doit en être de même pour tx et ty. En fait on peut dire que x est semblable à tx et y à ty. Cette définition d'un automorphisme se généralise aisément à tous les prédicats unaires et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat unaire P, une transformation t est un automorphisme lorsque pour tout x, Px si et seulement si Ptx Au niveau des symétrie de type orthogonales on peut dire que Dans l'exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un automorphisme pour les propriétés (les prédicats unaires) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique. Une transformation t est un automorphisme pour un opérateur binaire + lorsque pour tous x et y, t(x+y)=(tx)+(ty) Cette définition d'un automorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments. t est un automorphisme pour un opérateur unaire lorsque pour tout x, t(-x) = -t(x) Toutes ces propriétés sont interessantes à visualiser sur un simulateur de géométrie. Notons que depuis l'arrivée des ordinateurs toutes ces transformations deviennent de véritables applications graphiques et trouvent enfin leurs lettres de noblesse ! quelques petits automorphismes tracés sur votre ordinateur portable et la géométrie devient enfin de l'art ! Autrement dit, une transformation est un automorphisme pour un opérateur unaire, ou fonction d'une seule variable, lorsqu'elle commute avec lui. Lorsque des transformations commutent entre elles, elles sont toutes des automorphismes les unes vis-à-vis des autres, au sens où toute structure définie par une transformation est conservée par toutes les autres. Un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z . On voit alors que la définition d'un automorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d'un automorphisme pour les relations. Activité pool8 comme un simulateur. Notons au passage que les ateliers de géométrie permettent de construire très facilement une simulation de jeux de billard avec rebond symétrique sur les bandes et empochage de billes par déplacement de la blanche. Cette activité sera suivie d'essais sur un véritable billard (le notre est un billard table CFBL). Si vous voulez jouer en pool ou américain sur un véritable billard table ! Alors il n'y a pas à hésiter ceux qui sont noctambules enlèveront les plateaux pour un petit tournoi de snooker ! Ils finiront au petit matin bien entendu ! Ils sont passionnés de jeux de bistrots pour la plupart d'entre eux ! |